Анатолий Андреевич Анпилов родился  в Старом Осколе в семье рабочего. Окончил один курс Воронежского коммунально-строительного техникума, оттуда в 1933 году по спецнабору ЦК ВЛКСМ был призван в Красную Армию. В 1936 окончил Сталинградскую военную школу летчиков. Участник освободительного похода советских войск в Западную Белоруссию 1939 года и советско-финляндской войны 1939-1940 годов. Был награжден орденом Красного Знамени.

С началом Великой Отечественной войны он на фронте. Командир эскадрильи 779-го бомбардировочного авиационного полка 241-й бомбардировочной авиационной дивизии 16-й Воздушной Армии. Сражался на Западном, Юго-Западном, Сталинградском, Центральном и 1-м Белорусском фронтах, участвовал в Курской, Орловской, Брянской, Севской, Гомельской, Мозырьской операциях.

Решительный и бесстрашный летчик,  командир эскадрильи, капитан  А.А.Анпилов обладал отличной техникой пилотирования, совершил 185 боевых вылетов и нанес врагу большие потери в живой силе и технике.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 июля 1944 года командиру эскадрильи 779-го бомбардировочного авиационного Калинковичского полка капитану  Анпилову Анатолию Андреевичу было присвоено звание Героя Советского Союза.

После войны Анпилов А.А. окончил Краснознаменную Военно-воздушную Академию. С 1971 года генерал-майор авиации Анпилов А.А. в запасе.